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2018年广东省深圳市福田区八校中考一模数学

一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的)
1.﹣3的相反数是( )
A.﹣3
B.3
C.

解析：﹣3的相反数是3.
答案：B

2.分别从正面、左面和上面看下列立体图形，得到的平面图形都一样的是( )
A.

解析：A、球从正面、左面和上面看都是圆，故此选项正确；
B、圆锥从上面看是有圆心的圆、从左面和正面看都是三角形，故此选项错误；
C、长方体从正面、左面看都是长方形，从上面看是正方形，故此选项错误；
D、圆柱体从正面、左面看都是长方形，从上面看是圆形，故此选项错误.
答案：A

3.据统计，我国高新技术产品出口额达40.570亿元，将数据40.570亿用科学记数法表示为( )
A.4.0570×10⁹
B.0.40570×10¹⁰
C.40.570×10¹¹
D.4.0570×10¹²
解析：40.570亿=40 5700 0000=4.0570×10⁹.
答案：A

4.下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.

解析：A不是轴对称图形，是中心对称图形；
B是轴对称图形，也是中心对称图形；
C和D是轴对称图形，不是中心对称图形.
答案：B

5.如图，∠B=∠C，∠A=∠D，下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其中正确的结论有( )

A.①②④
B.②③④
C.③④
D.①②③④
解析：∵∠B=∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠AEC，
又∵∠A=∠D，
∴∠AEC=∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC=∠FNM，
又∵∠BND=∠FNM，
∴∠AMC=∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC=90°，故③不一定正确.
答案：A

6.关于x的不等式组

的解集为x＜3，那么m的取值范围为( )
A.m=3
B.m＞3
C.m＜3
D.m≥3
解析：不等式组变形得：

，
由不等式组的解集为x＜3，
得到m的范围为m≥3.
答案：D

7.某商贩同时以120元卖出两双皮鞋，其中一双亏本20%，另一双盈利20%，在这次买卖中，该商贩盈亏情况是( )
A.不亏不盈
B.盈利10元
C.亏本10元
D.无法确定
解析：设在这次买卖中原价都是x，
则可列方程：(1+20%)x=120，
解得：x=100，则第一件赚了20元，
第二件可列方程：(1﹣20%)x=120，
解得：x=150，则第二件亏了30元，
两件相比则一共亏了10元.
答案：C

8.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( )

A.AC⊥BD
B.AB=BC
C.AC=BD
D.∠1=∠2
解析：A、正确.对角线垂直的平行四边形的菱形.
B、正确.邻边相等的平行四边形是菱形.
C、错误.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形.
D、正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形.
答案：C

9.下列命题错误的是(   )
A.经过三个点一定可以作圆
B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
C.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
解析：A.经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故本选项错误；
B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
C.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；
D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确.
答案：A

10.在某学校“经典古诗文”诵读比赛中，有21名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前10名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的(   )
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
解析：共有21名学生参加“经典古诗文”诵读，取前10名，所以小颖需要知道自己的成绩是否进入前10.我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，
第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛.
答案：B

11.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(   )

解析：连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S_△_B′O′B﹣(S_扇形O′OB﹣S_△_OO′B)=

.
答案：C

12.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA²=OE·OP；③S_△_AOD=S_{四边形OECF}；④当BP=1时，tan∠OAE=

，其中正确结论的个数是( )

A.1
B.2
C.3
D.4
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，

，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴

，即AO²=OD·OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA²≠OE·OP，故②错误；
在△CQF与△BPE中，

，
∴△CQF≌△BPE，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，

，
∴△ADF≌△DCE，
∴S_△_ADF﹣S_△_DFO=S_△_DCE﹣S_△_DOF，
即S_△_AOD=S_{四边形OECF}，故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△PBE∽△PAD，
∴

，
∴BE=

，
∴QE=

，
∵∠QOE=∠POA，∠P=∠Q，
∴△QOE∽△POA，
∴

，
即tan∠OAE=

，故④错误.
答案：B

二、填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分.)
13.因式分解：4a³﹣16a=_____.
解析：原式=4a(a2﹣4)=4a(a+2)(a﹣2).
答案：4a(a+2)(a﹣2)

14.在一个不透明的袋子中，有3个白球和1个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为_____.
解析：画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次都摸出白球的有9种情况，
∴两次都摸出白球的概率是：

.
答案：

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为_____.

解析：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H.

在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10.

，
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为

.
答案：

16.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则tan∠EFG的值为_____.

解析：如图，连接AE交GF于O，连接BE，BD，则△BCD为等边三角形，

∵E是CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴∠EBF=∠BEC=90°，
Rt△BCE中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°×3=

，
∴Rt△ABE中，AE=

，
由折叠可得，AE⊥GF，

，
设AF=x=EF，则BF=3﹣x，
∵Rt△BEF中，BF²+BE²=EF²，
∴(3﹣x)²+(

)²=x²，
解得x=

，即EF=

，
∴Rt△EOF中，

，
∴

.
答案：

三.解答题：(本题共7小题，其中第17小题5分，第18小题6分，第19小题7分，第20、21小题各8分，第22、23小题各9分，共52分)
17.计算：

解析：直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案.
答案：原式

.

18.先化简：

；再在不等式组

的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值.
解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可.
答案：原式=

，
解不等式3﹣(a+1)＞0，得：a＜2，
解不等式2a+2≥0，得：a≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤a＜2，
其整数解有﹣1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
则原式=1.

19.为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表.
调查结果统计表

组别	分组(单位：元)	人数
A	0≤x＜30	4
B	30≤x＜60	16
C	60≤x＜90	a
D	90≤x＜120	b
E	x≥120	2

请根据以上图表，解答下列问题：
(1)填空：这次被调查的同学共有_____人，a+b=_____，m=_____；
(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；
(3)该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数.

解析：(1)根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；
(2)利用360°乘以对应的比例即可求解；
(3)利用总人数1000乘以对应的比例即可求解.
答案：(1)调查的总人数是16÷32%=50(人)，
则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，
A组所占的百分比是

=8%，则m=8.
a+b=8+20=28.
故答案是：50，28，8；
(2)扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×

=144°；
(3)每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000×

=560(人).

20.“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
(1)若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
(2)考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
解析：(1)设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；
(2)设购进A型车m辆，则购进B型车100﹣m辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出m的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可.
答案：(1)设平均增长率为x，根据题意得：
640(x+1)²=1000，
解得：x=0.25=25%或x=﹣2.25(不合题意，舍去)，
则四月份的销量为：1000(1+25%)=1250辆，
答：该公司4月份在深圳市新投放共享单车1250辆；
(2)设购进A型车x辆，则购进B型车100﹣m辆，
根据题意得：500m+1000(100﹣m)≤70000，
解得：m≥60.
利润W=(700﹣500)m+(1300﹣1000)(100﹣m)=200m+300(100﹣m)=﹣100m+30000，
∵﹣100＜0，
∴W随着m的增大而减小.
当x=60时，利润最大=﹣100×60+30000=24000，
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.

21.如图，已知一次函数y=

x﹣3与反比例函数

的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.
(1)填空：n的值为_____，k的值为_____；
(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；
(3)观察反比例函数

的图象，当y≥﹣2时，请直接写出自变量x的取值范围.

解析：(1)把点A(4，n)代入一次函数y=

x﹣3，得到n的值为3；再把点A(4，3)代入反比例函数

，得到k的值为12；
(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2，0)，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=

，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标；
(3)根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣2时，自变量x的取值范围.
答案：(1)把点A(4，n)代入一次函数y=

x﹣3，可得n=

×4﹣3=3；
把点A(4，3)代入反比例函数

，可得3=

，
解得k=12.
(2)∵一次函数y=

x﹣3与x轴相交于点B，
∴

x﹣3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为(2，0)，
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵A(4，3)，B(2，0)，
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB=

，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=

，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，

，
∴△ABE≌△DCF(ASA)，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=

，
∴点D的坐标为(4+

，3).
(3)当y=﹣2时，﹣2=

，解得x=﹣6.
故当y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣6或x＞0.
故答案为：3，12.

22.如图，在△ABC，O是AC上的一点，⊙O与BC，AB分别切于点C，D，与AC相交于点E，连接BO.
(1)求证：CE²=2DE·BO
(2)若BC=CE=6，则AE=_____，AD=_____；

解析：(1)证明△BCO∽△CDE，得

，并将CO=

CE代入，可得：CE²=2DE·BO；
(2)连接OD，设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.根据△ODA∽△BCA，

，列方程可得x的值，在Rt△ADO中由勾股定理可得AD的值.
答案：(1)证明：连接CD，交OB于F，
∵BC与⊙O相切于C，
∴∠BCO=90°
∵EC为⊙O的直径，
∴∠CDE=90°
∴∠BCO=∠CDE，
∵BC、BC分别与⊙O相切于C，D，
∴BC=BD
∵OC=OD
∴BO垂直平分CD，
从而在Rt△BCO中，CF⊥BO得∠CBO=∠DCE
故△BCO∽△CDE，得

，
∴CE·CO=BO·DE，
又∵CO=

CE，
∴CE²=2DE·BO
(2)连接OD，
∵BC=CE=6，OD=OE=OC=3，
设AE=x，则AO=x+3，AC=x+6.
由△ODA∽△BCA，

∴

得AB=2(x+3)，
在Rt△ABC 由勾股定理得：6²+(x+6)²=(2x+6)²，
解得x₁=2.x₂=﹣6(舍)
∴AE=2，
∴AO=OE+AE=3+2=5.
从而在Rt△ADO中由勾股定理解得：AD=4.
故答案为：2，4.

23.如图，直线y=kx+2与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y=﹣

x²+bx+c经过点A，B.
(1)求k的值和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.
①若以O，B，N，P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时，求m的值.
②连接BN，当∠PBN=45° 时，求m的值.

解析：(1)把A点坐标代入直线解析式可求得k，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出PN的长，根据平行四边形的性质得：OB=PN=2，列方程解出即可；
②有两解，N点在AB的上方或下方，作辅助线，构建等腰直角三角形，由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，得AH=